元婚約者に今、交際している相手がいるとバレたら訴えられてしまいますか?

私は今、未婚のシングルマザーです。
子はもうすぐ2歳になります。
元交際相手(子の父)とは関係は終わり、養育費について公正証書を作成しているところなのですが
認知届をなかなか出してくれません。
作成を始めてもうすぐ3ヶ月になりますが、色々な理由をつけて認知届を提出してもらえず
作成が滞っています。
しかし、元交際相手からは一方的に婚約を破棄されたので訴えることも出来ると言われています。
確かにDVや浮気などはなかったのですが、
子どもが産まれてからもずっと認知してと言っているのにしてくれない等の不誠実な対応で私の心が冷めてしまいました。

現在、交際している相手がいるのですが
この場合、公正証書が出来上がるまでは
同棲等しない方がいいのでしょうか?

交際している相手がいるとばれたら訴えられてしまうでしょうか?

また、親権を取られることはあるでしょうか?

長くなりましたがよろしくお願いいたします。

認知調停でしょう。
同棲しても問題はありません。
交際終了しているので訴えられることはありません。
親権を取られることはありません。

現在、交際している相手がいるのですがこの場合、公正証書が出来上がるまでは同棲等しない方がいいのでしょうか?

同棲するのは構わないと思います。

交際している相手がいるとばれたら訴えられてしまうでしょうか?

訴えられる理由がないと思います。

また、親権を取られることはあるでしょうか?

まずないと思います。