名義預金の遺産性に関しての質問

遺産分割協議の調停中です。
私は相手側で、申立人は弟で弁護士を付けています。
名義預金に関し、
① 医療費が高額となった場合は出金するとの条件で出金するとの条件で開設された
② 親が保有していたものを、施設入所前に手渡した時、「お預かりします」と受け取った
③ 遺書に 預け金 として記されている
①~③により、遺産であると主張しているのですが、弁護士はそれに同意していません。
先生の皆様のご意見をお聞かせください。

親が、弟に対し、自分(親)の医療費等の費用のためだけに使うよう、一定のお金を預け、弟が、それを自分名義の預金に入れておいたということでしょうか?
それが正しければ、預金自体が資産というよりは、弟に対する預け金返還請求権(医療費等に使われなかった部分の精算金請求権)が遺産であると考えてもいいと思います。
なお、相手弁護士が、同意していない理由は分かりませんが、そもそも預けたことを否定し、もらったと行っているのかも知れませんし、親のために使い切ったということを行っているのかも知れませんので、そこは確認する必要があると思います。

ご回答ありがとうございます。
親が弟に対し、医療費のための現金が不足した場合には、利用するという条件で、弟名義の口座を作り、親が入金をしています。
相手弁護士は
・ 金員の預託を行う旨の合意書等が作成されていない
・ 仮に、預金の管理を委ねるのであれば、親名義の通帳をそのまま預ければよく、わざわざ新しく弟名義の口座を開設したうえで入金する必要性がない
などから遺産性がなく、贈与税の暦年課税における基礎控除の範囲内で年をまたいで継続して入金をされていることから、贈与と解する事が自然と主張しています。

②により、受け取った時点で贈与の認識はない
③により、本人が贈与の意図はない と 主張しています。

上記の場合、法的にどのように捉えるべきか、ご意見いただければ幸いです。
よろしくお願いいたします。

追記
名義預金は使われておらず、遺産目録に記されている金額と残額が一致している事も確認できています。

相手弁護士の主張は、相手の主張を裏付ける有利な状況証拠、遺言書の遺産目録に記載されていたのはこちらの主張を裏付ける一つの証拠ということになります。遺産かどうかは、それらを含めて様々な証拠等を総合して最終的に裁判所が判断します。質問文に記載された事情以外に、こちらに有利な状況証拠を集めて、主張されたらいいでしょう。
遺産かどうかについて結論を出すためには、調停手続ではなく、訴訟手続ということになるかも知れません。

峰岸先生、ご助言いただき感謝します。
ありがとうございました。

ご回答いただいたのが 2:43AMであったことに気づきました。
就寝前のお時間を割いていただいたことに感謝申し上げます。
本当にありがとうございました。