被害届をだしてから捜査が始まるまで

被害届を出してからどのくらいの期間で捜査が開始されるのですか?1ヶ月後に遅れて捜査とかもあるんですか?一ヶ月間放置されてる場合捜査はされずに一生放置ですか?
告訴状の場合でも教えて欲しいです

ケースバイケースとしかいえません。犯罪が何か、社会的影響の有無、被疑者がいるかどうかと逃亡の恐れの有無、警察側のキャパシティ、どこの警察かなどで変わってきます。
公訴時効の問題があるんで、一生放置ということはほとんどないでしょうが。
それから、捜査上の機密があるんで、捜査が始まっても被害者には知らされないこともあります。

詐欺に会いました。
被害届では必ず捜査しれるわけではないらしいのですが、受理されて捜査しないと判断されたばあい、データとしてこういう事件があったと残るだけですか?

いや、たいていの場合、検察庁に送致し、最終的に検察官が起訴するかどうか決めます。書類送検などとマスコミは言ったりしますが。その場合、全く捜査しないということはあまりなく、関係者への事情聴取はするのが通常です。
微罪処分や不送致と言って、送検しないこともありますが、その場合でも全く捜査をしないというのは稀です。不送致は実体が不透明ですが、微罪処分はひと月ごとに被疑者氏名や処理の内容を一括して検察官に報告します。
ですので、被害届を出した場合、警察限りでデータだけ残った状態、というのはかなり稀です。

Twitterで詐欺にあって、相手が全く特定できてない状況だとどうなるますか?

被害額や類似事案の数にもよりますので一概に言えません。
大したことない事件だと判断されると、そもそも被害届の受理を事実上拒まれ、警察内部のデータにすら残らないということもよくあります。

9000円騙されました。
相手が全く特定できていない、そして軽微な額で警察が実際に相手特定のために動いてくれると佐藤弁護士は思いますか?またこのようなので実際に動いてくれた事例はあるのでしょうか?
警察の#9110に電話相談して類似事件があるかどうか聞くことはできるのでしょうか?

同じような詐欺が流行っているという事情もなければ、多分難しいと思います。
寸借詐欺やフィッシングサイト詐欺などでは、被害者多数なので、警察が動いて、証拠の固い一部のみ立件ということもありますが。
警察の♯9110に聞いて教えてくれるかどうかは分かりませんが、聞くだけならタダだし、聞いてもいいと思います。
それから、いきなり被害届出すんだ!というスタンスではなく、警察に相談というスタンスでいくと、警察官によっては実情を話してくれることもあります。一度警察に相談というスタンスで言ってみてはいかがでしょうか。

では、#9110に一度電話してみて、こういう詐欺にあったんですけど、類似事件はありますか?みたいな感じで聞けば、警察は県内の被害届のデータを持っているから教えてくれるかもしれないということですか?

そんな具体的なデータは教えてもらえないでしょう。捜査上の機密ですし、電話の相手が詐欺の主犯である可能性も想定しないとならないでしょうし。データが手元にないでしょうし。
せいぜい、「ああ、最近多いんですよね」くらいじゃないですか。