別れた相手に中絶費用請求は出来ますか?

既婚男性と不倫関係にあり、自然消滅後に妊娠中絶をしました。
こちら側の仲介人を立て、手術費用、前後の検診費用、アフターケアなどの金銭的負担をしてくれると本人の口から約束してもらいました。金額も、本人が自ら提示済みです。(録音もあり)

ですが翌日、相手側が弁護士に依頼をしたので
約束の金銭を払いに行く事が出来ない、今後は弁護士から連絡がこちらに来る、とメールで連絡があり、その後こちらには弁護士からも本人からも何の連絡もありません。

こちら側は、手術費用負担をしてもらう為に内容証明郵便を相手側の自宅か会社に送る予定ですが
今後、どのような流れになって行くのか、
内容証明郵便を自宅か会社に送る事は可能なのか、を知りたいです。

回答を頂けるとありがたいです。

書き漏れです、弁護士に依頼をしたとのメール内で
私に迷惑をかけて謝罪の気持ちがある事、
お金を払う意思はある事、
は書いてありました。

こちら側は、手術費用負担をしてもらう為に内容証明郵便を相手側の自宅か会社に送る予定ですが
今後、どのような流れになって行くのか、
→内容証明といっても手紙での請求に過ぎませんので、内容証明を送っても支払いがなければ、訴訟など裁判所を利用した手続きを検討することになります。

内容証明郵便を自宅か会社に送る事は可能なのか、を知りたいです。
→どちらにも送ること自体は可能です。
もっとも、自宅に送った場合、相手の奥様に不貞が発覚し、奥様からあなたに対する慰謝料請求がされる可能性があります。
また職場に送った場合、同僚などに見られるなどの名誉毀損のおそれがあります。
このような各リスクについて検討は必要かと思います。

倉田 勲弁護士
回答ありがとうございます。
丁寧で分かりやすいです、今後の参考にさせて頂きます。