所属先への連絡はないのでしょうか?

先日、友人間で送りあっていたアダルトな内容の画像をTwitterで流出してしまい、警察の方から連絡が来ました。そこでは学校への連絡などは今のところすることは無い。しかし、携帯内の画像、利用していたTwitterアカウントの削除を目の前で確認したいとのことでした。正直に警察へは行くつもりですが、本当に連絡などされないのか、罪に問われないのかが心配です。

学校への連絡は、事件の捜査で必要がある場合に行われます。

警察が学校に連絡しないと言っているのであれば、事件の捜査において必要がないと考えているものと思われます。
また、警察が学校に連絡しないと伝えている場合には、本当にしないことが圧倒的に多いです。

罪については、わいせつ物頒布等罪が成立している可能性があります。
19歳以下であれば、家裁送致はあり得ます。
家裁送致後は、不処分や審判不開始といった場合もありますが、審判になることもあります。

その罪が整理してしまった場合、家裁送致とはどのようなものでしょうか。

誤字ですごめんなさい。
成立した場合です。
ちなみに相手方次第で変わることもありますか?

家裁送致は、警察や検察が捜査を終えて、事件を事件記録ごと家裁に送るという扱いです。
少年事件では、原則として全件が家裁に送致されます。

検察で罪を犯したと判断すれば、家裁送致になり、家裁で審判をするかどうかの判断がされます。
審判を受けることになれば、不処分、保護観察、少年院送致などの決定がされます。
前歴がなければ、わいせつデータの頒布でいきなりの少年院送致は考えにくいです。

「相手方次第で変わるか」については、「相手方」の意味が不明確ではありますが、被写体のことを意味するのであれば、わいせつ物頒布罪では、被写体が誰かというのは罪の程度には大した影響は及ぼしません。
また、「相手方」が、一緒に写真を送り合っていた「友人」を意味する場合も、Twitterという多くの人が閲覧できる場所にデータを頒布したことは別問題ですので、あまり重要な事情にはなりません。

今回の件は
私が友人から受け取ったものをTwitterで直接の知り合いではない方に個人チャットで送ったものが拡散されてしまっているところです

頒布罪は、頒布した人に成立します。
あなたご自身が頒布したのではないのであれば、罪は成立しません。

警察から呼び出された日時になり、取り調べを受け、写真の撮影、答申書を書き、口頭指導ということで、今回の件については終了と伝えられました。今後何か起こることはありえるのでしょうか。

刑事手続は終了になり、家裁送致もないでしょう。
学校への連絡も、もちろんないでしょう。

分かりました。少し安心しました。長い間本当にありがとうございました。