育休中に退職推奨されました

医師として10年以上働いていて、現在の勤務先では正社員として2年8ヶ月勤務しました。産休育休後に復帰予定をしていました。
保育園の入園のために勤務証明が必要なので、勤務先にお願いしたところ、1週間後、退職推奨を受けました。

勤務先も育休中の解雇はできないことを知っているようで、「貴殿の休暇中に再治療が必要になった患者様が何人かいて、その中に重大な結果になりそうな件もあった。院長が対処し、大事にならなかったが、当院に損害を出した。今後当院の患者を任せたくないので辞職勧告する。勤務証明は記入せず送り返す。」と書いてありました。私は思い当たる患者様がなく、休暇中に患者様について一切連絡もなく、驚きとショックを受けています。
勤務しているスタッフさんに聞いたところ、再治療はあったが、他の医師でも起こる範囲内で特別多くもなく、院長が言うほど大事になった患者様はいないと言われました。本来は詳細を確認しに行くべきなんだと思っていますが、精神的に参ってしまい、体調不良になっていて、院長の顔を見て話を聞く状態にありません。

元々、院長は私のことは好きではないんだと感じていましたが、仕事ですので、私は真面目に患者様にも誠実に対応し、院長の指示を無視した事や遅刻等した事もなく、掃除や後片付けなど医師としての仕事以外も率先して手伝い、他のスタッフの方々には好かれていたと思います。
休暇中も復帰に向け、保育園見学に行ったりして準備してきました。保育園の申し込みまで2週間しかなく、乳児を抱えて就活もできないので、今後の生活のためには働かなければいけないのに途方に暮れています。

本当に私が治療させて頂いた患者様に何らかの問題があったとしても、何の連絡もなく退職推奨(気持ち的には解雇を言い渡されたと同じです)は合理性はあるのでしょうか。

入職時に雇用契約はなく、試用期間3ヶ月後に本採用になっています。試用期間中に院長には「私の治療に気になることはありませんか?ご指導ありませんか?」と聞かれ、「ない、真面目だね。私とは合わないかもね。」と言われました。院長の休みの日は院長の患者様を任されたりもしていました。

信頼関係がない以上、復帰して働き続けるのは無理かと考えていますが、退職推奨をただ受け入れるしかないのでしょうか。
応じるとしても、私に少しでも有利な条件で交渉することは出来るのでしょうか。

長文、乱筆で申し訳ありません。
大変困っているので、アドバイスを頂けると幸いです。

退職条件の交渉、(あれば)残業代の請求等、やるべきことは多いです。
退職勧奨については具体的に回答されず、お近くの法律事務所に速やかにご相談ください。