あらゆる手続きができず困っています

退職した会社が退職手続きをしてくれないので、国民保険保険や失業保険の手続きができない状態にあります
5月下旬から職業訓練がはじまるので6月に書類が届いても、ハローワークに行けるのは6月下旬です
生活に余裕があるわけではないので、受給日がおくれることは本当にこまります
どうしたらいいかアドバイスお願いいたします

失業保険については管轄のハローワークで仮手続ができますので直ちに行くのがよいです。国民保険保険について、会社は法律上資格喪失届を出す必要があります。その場合は、事業所で資格喪失証明書を取得できます。その対応をしていない場合は、市町村の役所で相談すると柔軟に対応して貰える場合があります。ご参考にしてください。

肥田先生、ご回答ありがとうございます。
ハローワークではあと離職票が必要な状態まで手続きを進めていますが、会社が退職手続きをしないため離職票がない状態です。
退職手続きの期限が過ぎていますので、雇用保険の被保険者でなくなったことの確認請求をしております。しかし、ハローワークが手続きをするよう指導してくれても、27日が手続きの期限となるため、会社がすぐに動いてくれるかわかりません。
国民健康保険の加入のため健康保険資格喪失証明書を頼んでいましたが、それも送られてこないので、年金事務所で代替書類を出してもらおうとおもったのですが、会社が資格喪失届もだしておらず(期日は過ぎています)無理でした。
区役所で相談しましたが、健康保険資格喪失証明書でなければ手続きできない、会社が手続きするまで待つしかないと言われました。法令上の期日を守らない会社より、しっかり守って加入手続きをしようたとしている市民の方が不利益を被っても仕方ないとのことです。
仮手続きは済ませましたが、本手続きが出来るのは6月下旬になると思います(会社が手続きをしても私が平日に時間をとれない状態になっているので)
ひとり親で経済的に余裕がある訳ではありません、それまで通院に10割負担を続けるのは厳しいです。
会社が早く手続きをするように私からできることはないでしょうか？
早急に手続きしてほしい、との手紙は出しています。
長々となり申し訳ございません。
再度アドバイス頂けたら幸いです。
よろしくお願いいたします。