小学生同士のトラブルで示談金請求、法的対応は必要か?

子供(小学校6年)が他校の小学校1年生の子から近所の公園で自転車を故意にぶつけられ思わず相手の子に軽く平手打ちをしてしまい相手の父親から子供の顔は腫れているし口の中は赤くなっているし耳かキーンとなって耳が痛い、脳に損傷がおきていると子供が通う学校に連絡が来て学校の電話にて話しをしました。
電話の中で相手からこれは障害事件だからとのことを言われた。
翌日に見舞金2万円と病院代1万円を持って自宅に謝罪をしに行ったときに相手の奥様に現金の入った封筒を手渡し謝罪をしたところ、後遺症が出るかもしれない旨を伝えられた。
その翌日、学校で相手の父親と話合いを行い、謝罪をしお子さんのケガの状況を確認したかったので診断書はあるのか?また、写真はあるのか?聞いたところ、病院には行っていないから診断書はないし写真もないとのことでした。
話合いの中で相手の父親の方は自衛官で刑事刑務部隊の所属だからとの旨を伝えられ今回のことは警察には被害届けはださないから慰謝料として示談金15万円払ってくれればいいとの言われ話合いが終了しました。
この出来事は10日の出来事で1週間も経っているのに病院にも行っていないし、示談書もないし、診断書もなく子供のケガが虚偽の可能性もあり、今後もっと支払えと言われそうでどのような対応をしたらいいのか悩んでます。
学区外なのに話合いをするまでの1週間犯人探しをするのに中学校1年生全員にアンケートをとらしたり、うちの子供が通う小学校に何度も電話してお宅の生徒だから学校は関係すると言って話合いの場所を設けさせるし、これからそこの家の長男と中学校が一緒になるから何をされるか分からないから不安です。
示談金として払うべきなのかもわかりません。
どうしたらよろしいでしょうか?

病院にも行っておらず、診断書もなく相手の親が言っているだけというだけでは支払う必要は現時点ではないかと思われます。

仮に払って終わりにするとしてもしっかりと専門家の作成した合意書に署名押印をした上で支払いをされた方が良いでしょう。

弁護士を入れる場合10〜20万円程度は費用がかかってしまうため、依頼するかは別として、一度弁護士に相談されると良いかと思われます。