簡易訴訟で被告の漢字不明の名前記載方法と調査依頼

簡易訴訟の訴状を作っています
被告のフルネームはわかるのですが下の名前の漢字がわかりません
ひらがなやカタカナで提出したら却下されますか?
弁護士さんに依頼すれば名前を調べてもらえますか?

漢字氏名がわからない場合、被告の特定が不十分であるとして訴状却下になる可能性があると思います。
住所や電話番号などの手掛かりがあれば弁護士が調査することはできますが、基本的には調査だけの依頼はできず、訴訟そのものの依頼が必要になります(弁護士費用がかかるため、請求額によっては費用倒れになります)。

裁判所に調査嘱託申立てをすることは可能ですか?

住所がわかっているなら、貴殿が訴状案などを持参して役所へ第三者請求して発行してもらえるかどうかを確認してください(住民票は権利行使のためなら第三者請求ができるため、裁判所は消極的です)。
電話番号を知っている場合、認められるかどうかを裁判所へ確認した方がよいでしょう(住所がわかっている場合は住民票の交付請求が認められなかったことを条件にされる可能性があります)。