結婚相談所での成婚退会後の破局について

結婚相談所で出会い、半年ほどお付き合いした後にプロポーズを受け、成婚退会しました。しかし、その直後にプロポーズ前には知らされていなかった事実が判明し、家族の反対もあり電話でお断りしました。その際、指輪は返却すると伝えたものの、「処分して構わない」と言われ、実際に返却できずにそのままになっていました。

その後、1ヶ月半後に相手から「婚約破棄されたが、どれだけ待っても指輪代の返金について連絡がない」と連絡が来ました。結婚相談所での出会いであったため信頼してしまっていたため、相手の住所や勤務先、学歴などの情報はほぼ何も知らない状態です。両親にも会わせてもらえませんでした。そもそもこのような状態で婚約と言えるのでしょうか?何かとモヤモヤしますが、現在はとにかく指輪を返却し、指輪代を支払ってすべて終わらせたいと考えています。もう相手には会いたくありません。損害賠償責任などは発生するのでしょうか?どう対応するのが良いでしょうか。

ご不安な状況かと思います。
ご質問に対してご回答させていただきます。

そもそもこのような状態で婚約と言えるのでしょうか?
→法的な観点での婚約が成立していたか否かは、同居の有無や親族の顔合わせの有無、婚約指輪の取り交わしや具体的な入籍、結婚式の予定の有無や時期等を総合的に考慮して決まるため、いただいた情報のみから直ちに婚約が成立していたとまでは言い難いと思います。

損害賠償責任などは発生するのでしょうか?
→双方が合意の上で別れたのであれば、通常は損害賠償責任は発生しない事案だと思われます。

どう対応するのが良いでしょうか。
→相手方と直接のやりとりをせずに適切に解決する方法としては、弁護士を代理人にした上で、弁護士を通じて相手方と協議等行うことが考えられます。
もしご自身で対応の上で指輪代を返却して終わらせたいということでも、後のトラブルを防止するために、相手方と何らかの合意書を取り交わしておいた方が良いと思います。弁護士に合意書の作成のみをご依頼いただくこともできますので、まずは弁護士に相談してみることをおすすめします。