派遣元から退職金未払いの通知、契約上請求可能か?

某人材派遣会社(以下、派遣元と略す)より仕事を斡旋され、とある会社で派遣社員として勤めていたものです。
相談内容は派遣元より退職金が支払われないと約束を反故にされたため、きちんと退職金を請求出来ないかについてです。

派遣元の勤務規定では、36ヶ月以上継続で勤務した場合、退職金が支払われる制度となっております。

今年の4月に派遣元の担当者へ、「退職金が支払われる対象の期間まで勤務し、その後に退職したい」旨を伝えました。
担当者からの回答は「派遣契約開始日は2022年12月5日のため、2025年12月5日まで出勤すれば退職金が支払われる」とありました。自分はこれを承諾し、退職日を2025年12月6日と設定。派遣先の会社にも退職の旨を連絡し、退職の準備を進めておりました。
こちらはメールにてやり取りしており、文面が残っています。

その後、退職日の3週間前に突然、某社の担当者より、「一日から末日までの契約でなければ月としてカウントされないと勤務規定に記載があるため、2025年12月に勤務した月はカウントされない、正しくは2026年1月1日まで契約していないと36ヶ月継続勤務とみなされず、申し訳ないが退職金が出ない」と連絡がありました。

半年以上前から退職日は決定しており、派遣先の会社にもいきなり雇用を継続してもらうのは難しいです。勤務規定に記載があったとはいえ、担当者からの回答を契約とみなし、退職金を請求することは出来ないのでしょうか?

※特定を避けるため、日にちは一部変更しております。ご了承下さい。

>今年の4月に派遣元の担当者へ、「退職金が支払われる対象の期間まで勤務し、その後に退職したい」旨を伝えました。
担当者からの回答は「派遣契約開始日は2022年12月5日のため、2025年12月5日まで出勤すれば退職金が支払われる」とありました。自分はこれを承諾し、退職日を2025年12月6日と設定。派遣先の会社にも退職の旨を連絡

とありますので、一連の流れの証拠がメールなどで客観的証拠があるのであれば、形式的にはともかく、実質的には動機の表示が認められて、派遣元との雇用契約における退職合意について「錯誤取消」ができるかもしれません。
一連の流れが派遣元の意図的なものであれば、派遣元の欺罔行為によりご相談者が欺された、つまり「詐欺取消」も考えられます。
取消が認められれば、ご相談者の退職合意が初めからなかったことになりますので、退職日以降も派遣元の社員という扱いになり、退職金が支給される段階で退職届を出すと、退職金を請求できるという流れになります。
また上記取消のみならず、すくなくとも上記やりとりは労使契約の信義則に著しく反する行為であると思われますので、証拠を備えて労働基準監督署に申告するとともに、提訴の際は、信義則に基づく退職合意の無効も併せ主張することも考えられます。