至急お返事お待ちしております。

1ヶ月以上前に知り合いから大小ダンボール5個ぶん程のにもつをあづかって居たのですが、引き取ると約束した3日ほど前からかれこれ4週間以上連絡取れません。
荷物を家から無くしたいんですが、
捨てるにしても時間とお金がかかってしまいます。
裁判などや、警察の方に対処してもらうなど
何かありませんか?

早急にお願い致しますm(*_ _)m

警察へ持ち込んで民事不介入で取り合ってもらえる可能性は高くないでしょう。
なお、相手方に所有権がある以上、無断で処分した場合、問題が生じる場合もありますので、
相手方に書面を送るなどして、所有権放棄の合意書を取り付けた方が無難です。
裁判で請求するとすれば、寄託契約(当事者の一方(寄託者)がある物を保管することを相手方(受寄者)に委託し、
相手方がこれを承諾することによって成立する契約)があったとして、
寄託物を保管するために必要な費用を支出したときは、その費用の償還を請求することができます(民法665条・650条1項)。