養育費支払を停止・免除することは可能でしょうか?

3年前に離婚をしました。
当時、息子が1人いたので私から毎月養育費を払うと約束をしたのですが半年くらい前 同じ時期に元妻も私もそれぞれ再婚しました。
そして、こちらにも新しい家族と子供が出来たので現在支払っている養育費を止めて欲しいのですが止めることは可能でしょうか?
もし、可能なのであれば条件や方法を教えてください。
宜しくお願いいたします。

養育費に関しては離婚する際に口頭のみで、書面にサインや捺印をしたわけではありません。
それでも、裁判所に申し立てをする必要があるのでしょうか?

家裁に養育費免除の申立てをしたらいいですね。
裁判所が計算をして、免除か減額か、ガイドライン
を示してくれますから。

一方的に減額したり支払いを止めることはできません。

家庭裁判所に養育費減額の調停を申し立てて、同調停において養育費が減額されるべきである事情(再婚して子どもが出来た等)を説明していくことになります。

養育費に関しては離婚する際に口頭のみで、書面にサインや捺印をしたわけではありません。
それでも、裁判所に申し立てをする必要があるのでしょうか?

免除あるいは減額を希望するなら、話し合いがつけばいいですが、
そうでないなら、申立てになりますね。
口頭でも養育費の合意は成立してますからね。

元嫁に連絡してみたのですが、今の旦那が無職のため生計を共にしておらず仕事が見つかるまで養育費を払ってほしいと言われました。
この場合、いつまで払わなければいけませんか?
連絡が来るまで払うべきなのでしょうか?

裁判所への申し立てはなるべく避けて話し合いで済ませたいのですが。

仕事が見つかるまででしょう。
これで終わります。