相続権者は亡き父の家屋の相続権を主張したまま固定資産税の納付を拒否し続けることができるのでしょうか。

20年前に父が他界してから17年間役所から父名義の土地・家屋の固定資産税の納付書が私自身のものと合算で送付されていました。3年前に残された母も他界したので相続問題が起こり、その時に父名義の土地と家屋の固定資産税を払っていたのは私だけで姉二人には納付書が送付されていなかったことが判明しました。下の姉は私の立て替え分の清算をしてくれて相続放棄をしましたが、上の姉は母の葬儀にも出ず行方が分かりませんでした。役所に事情を話して固定資産税は上の姉に請求して欲しいと依頼したら「それは出来ませんが、相続人お二人に同時に納付書を送付させてもらいます」とのことでした。すると、上の姉から「立て替え分の清算はしない。代わりに固定資産税の納付をしばらく自分がする」との連絡が入り居場所が分かりました。しかし、1回納付しただけで滞納したようで私の方に督促状が来て納付しないと差し押さえをするとの連絡が入りました。役所に、理不尽ではないのか問い合わせたところ「取りやすいところから取るのが市役所の仕事」「誰を納付者にするのか役所が一方的に決めて良いと法律に書いてある」との返事を得ました。このまま私が固定資産税を払い続けるしかないのでしょうか。このままでは名義変更も売却もできずに空き家が朽ち果てていくのみです。

父親の名義を、変更しなければなりませんね。
母親も亡くなったので、少し複雑になりましたね。
遺産分割協議をする必要があります。
分割協議の中で、立替分の処理も含めて、どのようにするか検討し
たほうがいいでしょう。
市役所の考えは、間違ってはいません。

遺産分割の調停を申し立てて、不動産を、あなたが取得するか、姉に取得させるか、換価して分配を受けるかということになりますので、いずれは処分できます。
何もしないと、ずっとこのまま固定資産税を払い続けることになります。