元妻に支払い済みの固定資産税の請求

離婚後の固定資産税について

当初離婚後、元妻が固定資産税を支払う約束(口約束)をしていましたが飛ばし飛ばしにしか支払っておらず督促状が届きました。一度はこちらが支払うにしろ返金を求める事は可能でしょうか?

※31年に離婚。今年5月に住宅は元妻に名義変更済み。固定資産税の請求は1月時点での名義人に届く

理論的には、固定資産税について元妻が払うという約束であれば、それを代わりに払った場合には返金を求められます。
ただ、その支払いを求めたときに、そのような約束はないとか、意味が違っているとか、条件があったなどと、いろいろと反論をされたときに、口頭の約束を証明できるかという現実的な問題は残ります。