派遣会社の契約、社会保険、傷病手当金について質問です。

派遣会社勤務(2ヶ月毎に契約更新)の25歳です。

先日、心療内科でうつ病と診断され、2ヶ月の休養が必要と言われました。
(先月の31日から今日まで仕事を休んでおり、診断が下ったのは今月の8日です。)

その旨を派遣会社に伝えたところ、「働けないのなら契約を解除する必要がある。」と言われました。

病気が理由だとしても働けない状態になったら契約を解除されるのが普通なのでしょうか。
また、傷病手当金の給付を申請したい旨を伝えたところ、「今まで聞いたことがない。働けないのなら社会保険も切る必要がある。」と言われ、どうしていいか分からない状態です。

この派遣会社に登録して働き出したのは昨年の7月からなのですが、実際に社会保険に加入したのは同年の9月からだったと記憶しています。
加入して1年未満ですが、仮に傷病手当金の申請をしたら給付を受けることは可能でしょうか。

また、有給が10日残っているのでこちらも使いたいのですが、この場合だと傷病手当金申請の際に何か不都合があるでしょうか。

質問が多くて申し訳ありませんが、ご回答のほどよろしくお願い致します。

傷病手当金の申請は可能だと思います。
保険組合と直接やり取りしてください。
会社が、書類作成に協力してくれない場合の方法についても相談したほうが
いいですね。
就業規則に休職規定はないのでしょうね。
なお、今後、業務の遂行が困難と判断されれば、解雇も適法の可能性がありま
す。
有給消化と申請は別個の事なので、有給中は、手当金は減額されるでしょう。
保険組合との意思疎通がカギですね。