離婚届について質問。

離婚届を相手が持っているのですが、合意書には、速やかに役所に出すとなっているのですが、出されない場合はどのような対処をしたらいいのでしょう。

合意書に従って速やかに提出するように求めていただく他ありません。
提出しない理由についても配偶者から聞き取り、解決できる理由であれば解決するべきでしょう。

合意書に記載された速やかには、相手のタイミングでと言われたみたいなのですが、これは合意書の意味がないのではないのでしょうか?
合意書の違反みたいにはならないのでしょうか?

「速やかに」は「可能な限りはやく」という意味であり、相手方のタイミングでという理解はできません。

合意書に違反する事実があることは確かですが、だからといって直ちに何か請求できるというわけでもありません。
配偶者が提出しないのであれば、ご相談者さまの側で提出することを提案してみてはいかがでしょうか。