婚姻費用をおさえる為に派遣社員と偽って保険証をくれない夫

夫の不倫発覚で昨年の2月から夫が家をでて、中学生、小学生の子供が二人を私がみています。昨年、夫から離婚調停。私が婚姻費用分担調停を申し立てしました。
不倫相手には合意書を交わし慰謝料と接触禁止で示談になりましたが、二人の交際はまだ終わっていません。
調停も次回まで持ち越しとなり、婚費も決定していません。夫は婚費をおさえる為に派遣会社で働いていましたが今月より社員になったようですが、それを調停で隠していて保険証をくれません。子供が病気やケガになった時の為に保険証を下さい。と事務的な連絡をメールしますが返事はありません。
夫には弁護士さんがついています。調停でも調停員の方や夫、代理人の先生にも言っていますが、保険証がないまま4ケ月たちました。保険証を貰うにはどうしたらよいですか?

勤務先に連絡して夫に対し指導してもらう。
次は
診療費を夫に求償する。
次は
勤務先に連絡して扶養を外してもらい資格喪失
証明書を出してもらい、国保に加入する。

内藤先生ありがとうございます。
調停で夫に会社に直接電話などしたら、会社を辞めると言われて、調停員の方も呆れていました。
今、調停していて夫に代理人がいるので少ないですが、生活費はくれています。
ネットの婚費シュミレーターで計算した金額の半額しかもらえていません。
なので、審判に移行した方が良いでしょうか?

審判の方がいいかもしれませんね。