損害賠償について応じなかったら。

弁護士さんに依頼をして相手に通知され、損害賠償などの請求等について相手が応じない場合どうなるのでしょうか?

相手方が応じない場合は交渉を継続できませんので,訴訟などの法的手続きについて検討することになりますね。

訴訟とはどういう事でしょうか?
調停とは別になるんですか?

訴訟とは裁判のことで,調停とは異なる手続きです。
請求の進め方などを具体的に確認したい場合は,弁護士にご相談されることをお勧めいたします。