別れた元彼からの嫌がらせ、賠償請求はできるでしょうか?

23歳、女です。
半月程前、1年ほどお付き合いしていた、わたしより20以上歳上の彼氏と別れました。理由は色々あるのですが、呼吸をするように他人を悪く言うような人で、その言葉たちにわたしが耐えられなくなったためです。LINEで別れたいことと理由を優しく告げましたが、彼は怒って納得して貰えず、家に押しかけてきたりしましたが、怖いし会いたくないので会いませんでした。
それ以降ずっと罵詈雑言がLINEやTwitterのDMなどで送られてきます。元彼と同じ趣味のよく行くお店があって、わたしはまたそこに行きたいと思うのですが「そこであったら殴る」みたいなことを言われていて、行くことが出来ませんし、怖くて外に出られません。バイト先も知られているので辞めざるを得ませんでした。「しね」や「一生外に出るな」などとも言われています。好きな有名人の生配信を見ている時に、わたし宛に嫌がらせのメッセージをコメントで送ってくることもありました。(アーカイブに残っています)
彼がそのようにわたしに酷い言葉を投げる一方で、毎日楽しく生きているツイートを見ると、悲しいし腹立たしいし、家の場所も知られているし、怖くて夜も眠れません。
LINEの履歴は残っていますし、削除済みのツイートやDMはスクリーンショットが残っています。この場合、賠償や慰謝料のようなものを請求できるのでしょうか。彼がわたしを中傷することに飽きたとしても、わたしは、それだけでは納得することが出来ません…

別れた後で罵詈雑言を送ってこられて、非常に不快な思いをされていることと存じます。いつ押しかけてこられるかというご不安な気持ちもよくわかります。

その内容で証拠がきちんと残っているのであれば、慰謝料請求は可能だと思われます。

相手方と交渉する際に、金銭的な問題ももちろんですが、今後の接触禁止を約束させることも目指したいところです。

大変な思いをされていることと思います。
他の弁護士もご指摘のように、証拠がきちんと残っているのであれば、慰謝料請求は可能だと思います。
と同時に、万が一のために、ぜひ警察にも届け出てください。ご自身では怖いとお感じになるのであれば、弁護士への相談・委任も検討されてよい事案だと考えます。